前言

四川省普通高校专升本考试要求

函数的极限

函数极限的定义

待补充

自变量趋于有限值(常数)时函数的极限

$χ ⟶ 2, f (x) = x^{2} ⟶ 4$
这个公式可以解释为: 当x趋向于2时,x的2次方就会趋向于4。

通过这个式子我们可以得出定义:

设函数f(x)在点 $χ_{0}$ 的某个去心邻域有定义, 若 $\forall ε > 0$ ,∃ $δ$ >0,当 $0 < | x - x_{0} | < δ$ 时,恒有 $| f (x) - A | < ε$ , 则称A为x- $x_{0}$ 时f(x)的极限。记作: $lim_{x \to x_{0 </msub></mrow>}} f (x) = A$

注: ε的任意性是为了刻画函数f(x)和A的接近程度,当ε越小时 $δ$ 的去心邻域就会越小.
$x \to x_{0 </msub></mrow>}$ ,但x≠ $x_{0}$ .研究的是x趋近于x0但是不等于x0,跟函数是否在x0上是否有定义毫无关系.

用文字解释就是: 若任意一个无穷小量大于0,存在德尔塔大于0,当0小于x- $x_{0}$ 的绝对值小于德尔塔,普遍恒有f(x)-A的绝对值小于无穷小量,则称A为x趋近于 $x_{0}$ 时f(x)的极限。
几何意义:
例题:
1. 用定义证明: $\lim_{x \to 1} \frac{x^{2}-1 }{x-1} =2$
  
  视频讲解
  解析: $根据公式\forall \varepsilon >0,\exists \delta ,当0<|x-x_{0}|<\delta 时，恒有|f(x)-A|<\varepsilon$
  解: $\because 定理\forall \epsilon >0,|f(x)-A|<\epsilon ,要使|\frac{x^{2}-1 }{x-1} -2 | < \epsilon,只需要|x+1-2| = |x-1|<\epsilon 成立即可$
  $\therefore \forall \epsilon > 0 ,\exists \delta = \epsilon ,当0<|x-1|<\delta 时 ,取\delta =\epsilon ,有|\frac{x^{2}-1}{x-1}-2 |<\epsilon$

自变量趋于无穷大时函数的极限

定义:
$式子\lim_{x \to +\infty} f(x)=A，\forall \epsilon >0,\exists X>0,当x>X时,恒有|f(x)-A|<\epsilon$

$式子\lim_{x \to -\infty} f(x)=A，\forall \epsilon >0,\exists X>0,当x<-X时,恒有|f(x)-A|<\epsilon$

$式子\lim_{x \to \infty} f(x)=A，\forall \epsilon >0,\exists X>0,当|x|>X时,恒有|f(x)-A|<\epsilon$
几何意义
例题
1. $用定义证明\lim_{x \to \infty}\frac{sinx}{x}=0$
  
  视频讲解,
  解析: 只需要证明出符合定义即可
  $证:\\\because \forall \epsilon >0,|\frac{sinx}{x}-0 |>\epsilon，由于 |\frac{sinx}{x} |<\frac{1}{|x|}$
  
  $\therefore 只要\frac{1}{|x|} <\epsilon$
  
  $|x|>\frac{1}{\epsilon } 只要取任意一个c=\frac{1}{\epsilon },只要 |x|>c,就有题目式子成立.$

左极限和右极限

区分左右极限的意义是从不同的方向趋近于一个点的时候它的极限值是怎样变化的,有助于我们更好地理解函数在该点的连续性、奇点、间断点等性质.

极限的充分必要条件: 当 $f(x)\to x_{0}$ 时,若左极限等于右极限,这个极限趋近于 $x_{0}$ 就是存在的.
解析:

函数极限的性质

唯一性

如果函数\lim_{x \to x_{0}}f(x)是存在的，那么这个极限是唯一的

局部有界性

如果\lim_{x \to x_{0}}f(x)=A,那么存在常数M>0和恶\delta >0,使得当0<|x-x_{0}|<\delta时,有|f(x)|\le M

局部保号性

如果\lim_{x \to x_{0}} f(x)=A,且A>0(或A<0)，那么存在常数\delta >0，使得当0<|x-x_{0}|<\delta 时,有f(x)>0(或f(x)<0)

函数和数列极限的关系

公式描述繁琐,不想记录

无穷大无穷小

无穷小

定义

函数又或者变量f(x)当x\to x_{0}或x \to \infty 时以0为极限，则称f(x)为x\to x_{0}或x \to \infty时的无穷小量

例如:

注意:

$当说一个变量是不是无穷小量时，是跟极限过程密切相关的。例如\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} =0时， x趋近0，\frac{1}{x}趋近\infty,极限并不是$

无穷小是一个变量，不是一个具体的很小的数

0是唯一一个看着是无穷小的数

定理

$当\lim a(x)=0，\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+a(x)$

无穷大

一个有趣的小视频

定义

若\lim_{x \to x_{0}}f(x)=\infty ,则称f(x)是x\to x_{0}时的无穷大

$即: 若对任意给定的M>0,总存在\delta >0,当0<|x-x_{0}|<\delta 时，恒有|f(x)|>M$

正无穷大

\lim_{x \to x_{0}} f(x)=+\infty

$例如: \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} =+\infty$

负无穷大

\lim_{x \to x_{0}} f(x)=-\infty

$例如: \lim_{x \to 0} \frac{-1}{x^{2}} =-\infty$

几何意义

不会画图

$\lim_{x \to x_{0}} f(x)=\infty 则x=x_{0}为y=f(x)的垂直渐近线$
$\lim_{x \to \infty } f(x)=a f(x)=a 则y=a为y=f(x)的水平渐近线$

极限运算法则

定理

有理运算法则

两个无穷小的和是无穷小(有限个无穷小的和是无穷小)
有界函数或常数乘无穷小的乘积是无穷小
有限和无穷小的乘积是无穷小
可以将常数从极限中提取出去 $如果limf(x)存在,而c为常数,那么lim[{\color{red} c} f(x)]={\color{Red} c} limf(x)$
可以将乘方提取出去 $如果limf(x)存在,而n为正整数,那么lim[f(x)]^n=[limf(x)]^n$
$如果\varphi(x) \ge \psi (x),而\lim \varphi(x)=A,\lim \psi (x)=B,那么A\ge B.$

例子

$\lim_{x \to 2} (x^2+2x)$

$= \lim_{x \to 2}x^2+\lim_{x \to 2}2x = 4+4 =8$
$\lim_{x \to 1 v}\frac{x^2+x}{x^3-3x+5}$
$\lim_{x \to 1}\frac{x^2-x}{x^3-3x+2}$
$\lim_{x \to \infty }\frac{x^2-x}{x^3-3x+2}$

复合函数运算法则
$设y=f[g(x)]是由y=f(u),u=g(x)复合而成,\lim_{x \to x^0} g(x)=u_0且\lim_{u \to u_0}f(u)=a,当x\in U(x_0,\delta _0)时,g(x)\ne u_0,则\lim_{x \to x_0}f[g(x)]=a$

无穷小的比较

回忆无穷小的定义: $若\lim_{x \to x_0}f(x)=0,则称f(x)为当前x\to x_0时的无穷小量。通俗的说就是极限为0的就是无穷小量$

无穷小的比较比较的是两个无穷小到0的快慢,通常是两个无穷小相除就能够比较出大小.

定义

$若\lim\frac{\alpha (x)}{\beta(x) }=0,则称\alpha (x)是\beta (x)的{\color{Green} 高阶无穷小},记作\alpha (x)= o (\beta (x))$
$若\lim\frac{\alpha (x)}{\beta(x) }=\infty ,则称\alpha (x)是\beta (x)的{\color{Green} 低阶无穷小}$
$若\lim\frac{\alpha (x)}{\beta(x) }=a\ne 0 ,则称\alpha (x)是\beta (x)的{\color{Green} 同阶无穷小}$
$若\lim\frac{\alpha (x)}{\beta(x) }=1 ,则称\alpha (x)是\beta (x)的{\color{Green} 等阶无穷小},记作\alpha (x) \sim \beta (x)$
$若\lim\frac{\alpha (x)}{[\beta(x)]^k}=a\ne 0,k> 0 ,则称\alpha (x)是\beta (x)的{\color{Green} k阶无穷小}$

例子

$证明: 当x \to 0时,\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{1}{n}x$ 解: $要证明\lim_{x \to 0}\sqrt[n]{1+x}-1等价于\lim_{x \to 0 } \frac{1}{n}x$

$则需要证明,\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{\frac{1}{n}x} =1$
$判断极限类型为\frac{0}{0}形$
$令\sqrt[n]{1+x}-1=t,则有x=(1+t^n)-1$
$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1 }{\frac{1}{n} x}$
$当\lim_{t \to o}\frac{t}{\frac{1}{n}(1+t)^n}-1=\lim_{t \to 0}\frac{nt}{(1+t)^n-1}$
$=\lim_{t \to 0}\frac{nt}{[(1+t)-1][(1+t)^{n-1} +(1+t)^{n-2}+\dots +1]}$
$= \lim_{t \to 0}\frac{n}{[(1+t)^{n-1}+(1+t)^{n-2}+\dots +1]}$
$= \frac{n}{n}=1$

结论

$\alpha (x)\sim \beta (x)的充要条件是\alpha (x)=\beta (x)+ o (\beta (x))$
$设\alpha (x)\sim \alpha _1(x),\beta(x) \sim \beta_1(x),且\lim \frac{\alpha _1(x)}{\beta_1(x)}存在,则 \lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\lim \frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)}$

常见等价无穷小

知乎推导文章

函数的连续性与间断点

函数的连续性

连续通俗的讲就是连绵不断.如下图y=f(x), $当自变量的该变量x_0\to 0函数的该变量\Delta y也一定趋向0,\Delta y\to 0,则有定义\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=0或\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0),则称f(x)在x_0出连续$

$当x_0+\Delta x=x时,\lim_{x \to x_0}[f(x)-f(x_0)]=0$

成立条件

设函数 f(x)在点x \to x_0 处连续,则成立条件为:

$1.f(x)在x_0处有定义$

$2.\lim_{x \to x_0}f(x) \text{ 存在}$

$3.\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x)$

左连续

当x趋近于0的时候,它的左极限正好等于它的函数值
$\lim_{x \to x_0^{-}}f(x)=f(x_0)$

右连续

当x趋近于0的时候,它的右极限正好等于它的函数值
$\lim_{x \to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$

结论

$连续\iff 左连续且右连续$
例题
$试证:\sin x在区间（-\infty ,+\infty ）上连续$ $只要\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y =0 即可证明连续,又因为一个量趋向0即它的绝对值趋向0$
$即|\Delta y|=|\sin (x_0+\Delta x)-\sin x_0|$
$= 2|\sin \frac{\Delta x}{2}||\cos \frac{2x_0+\Delta x}{2} |\le 2\sin \frac{|\Delta x|}{2} \le 2\frac{|\Delta x|}{2} \to 0$

函数的间断点

什么是间断点

f(x)在x_0某去心领域有定义，只要不满足连续三个条件中的任意一个皆为间断点。

第一类间断点(左右极限都存在)

可去间断点

f(x_0^+)=f(x_0^-)

$例如下图，函数在x_0处没有函数值f(x_0),但是它的左极限和右极限又是相等的。$

跳跃间断点

f(x_0^+)\ne f(x_0^-)

$例如下图，函数在x_0处没有函数值f(x_0),且它们的左右极限不相等,人们把这种函数值发生了跳跃性的变化成为跳跃间断点$

第二类间断点(左右极限至少有一个不存在)

无穷间断点

\lim_{x \to x_0}f(x)=\infty

例如下图没有极限,是趋于无穷的

震荡间断点

没有具体的公式，示例公式:\lim_{x \to 0}\sin \frac{1}{x} 不存在

极限存在法则

夹逼准则

数列的夹逼准则
函数的夹逼准则 $如果\lim_{x \to x_0}f(x)，当x\in \mathring{U}(x_0,\delta )时,f(x)\le g(x)\le h(x)，则\lim_{x \to x_0}g(x)=a$ $如果 lim_{x \to x_{0}} f (x) ，当 x \in \overset{˚}{U} (x_{0}, δ) 时, f (x) \leq g (x) \leq h (x) ，则 lim_{x \to x_{0}} g (x) = a$
1. 例题 $求极限\lim_{x \to +\infty }(2+\sin x)^\frac{1}{x}$
2. 例题 $求极限\lim_{x \to 0 }\frac{\sin x}{x} =1$
  单调有界准则
单调有界数列必有极限,即单调增(减)有上(下)界的数列必有极限.
例: $证明极限\lim_{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^n存在$

连续函数的运算与初等函数的连续性

初等函数的连续性

什么是初等函数

初等函数是指有限次使用基本运算(+,-,*,/,指数,对数等)构成的函数。

连续函数的和、差、积、商的连续性

假设有两个函数 f(x) 和 g(x),它们在某一个点 x0 处都是连续的,则它们的和、差、积(当g(x0)不等于0时)在x0处也都连续。 $设函数f,g在x_0处连续,则f\pm g,fg(g(x_0)\ne 0)都在x_0连续$
(反函数的连续性) $设f:[a,b]\to R是严格单调递增(减)的连续函数.则其反函数在[f(a),f(b)],([f(b),f(a)]),上也是连续的。$
例如下图,函数 ${\color{Green} y=f(x)}$ ,在a,b处连续.它的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 的y的取值范围为f(a)到f(b)。
(复合函数的连续性) $设y=f(g(x))是由y=f(u)与u=g(x)复合而成，若g(x)在x_0处连续，f(u)在u_0连续，u_0=g(x_0)，则f(g(x))在x_0处连续$
基本初等函数在其定义域内是连续的
初等函数在其定义区间内是连续的

$1^\infty 型极限常用结论$

若\lim a(x)=0,\lim \beta (x)=\infty ,且\lim a(x)\beta (x)=A,则\lim (1+a(x))^{\beta (x)}=e^A

${\color{Red} \mathbf{可以归纳为以下三步} }$
$1) {\color{Red} 写标准式} 原式=\lim [1+\alpha (x)]^{\beta (x)};$
$2) {\color{Red} 求极限} \lim \alpha (x)\beta (x)=A;$
$3) {\color{Red} 写结果} 原式=e^A.$

闭区间上连续函数性质

有界性与最大最小值定理

${\color{Blue} 定理1 (最大最小值定理)} 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值$
${\color{Blue} 定理2 (有界性定理)} 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上必有界$

零点定理与介值定理

${\color{Blue} 定理3 (零点定理)} 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则\exists \xi \in (a,b)使f(\xi)=0$
${\color{Blue} 定理4 (介值定理)} 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)\ne f(b),\mu 为介于f(a)与f(b)之间的任何值,则至少存在一个\xi \in (a,b)使f(\xi)=\mu$

第二章导数与微分

导数的概念

CSDN文章

导数的定义

函数在某一点的导数

设函数y=f(x)在点x_0的某一邻域内有定义,当自变量x在x_0处取得增量\Delta x时,相应的函数取得增量\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0),如果\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}存在,则称函数y=f(x)在点x_0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x_0处的导数,记为f'(x_0),即f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}或记作y'|_{x=x_0}或\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}

导数的几何意义

导数f'(x_0)在几何上表示曲线y=f(x)在点(x_0,f(x_0))处切线的斜率

$切线方程y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

$法线方程y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)} (x-x_0)$

可导与连续的关系

可导一定可以推出连续
连续不能推出可导

函数的求导法则

函数的和/差/积/商的求导法则

设u(x),v(x)都可导,则

$1) (u\pm v)'=u'\pm v'$

$2) (uv)'=u'v+uv'$

$3) (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2} (v\ne 0)$

反函数的求导法则

(链式法则) 设u=g(x)在x可导,y=f(u)在对应u处可导,则y=f[g(x)]在x处可导,且\frac{dy}{dx}=f'(u) g'(x)

复合函数的求导法则

(链式法则) 设u=g(x)在x可导,y=f(u)在对应u处可导,则y=f[g(x)]在x处可导,且\frac{dy}{dx}=f'(u) g'(x)或\frac{dy}{dx} =\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

常见求导公式

(1) f(x) = C ,即 (c)'=0,举例:\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =0

$(2) f(x) = x^n(n\in N^+), 分为两种情况：N$
$1. 当n=1时，(x^n)'=1,举例\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1$
$2. 当n>1时, (x^n)'=nx^{n-1},举例\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} =\lim_{h \to 0}[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+...+h^{n-1} ]=nx^{n-1}$

$(3) f(x)=x^u(u\in R), (x^u)'=ux^{u-1},举例\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^u-x^u}{h} =\lim_{h \to 0}\frac{x^u(1+\frac{h}{x})^u-x^u}{h} =x^u\lim_{h \to 0}\frac{(1+\frac{h}{x})^u-1}{h} =x^u\lim_{h \to 0}\frac{u\frac{h}{x}+o(\frac{h}{x})}{h} =ux^{u-1}$
$例如: (\sqrt{x} )'= (x^{\frac{1}{2} })'=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} -1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2} }$

$(4) f(x)=\sin x, (\sin x)'=\cos x,举例\lim_{h \to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} =\lim_{h \to 0}\frac{2\sin \frac{h}{2}\cos (x+\frac{h}{2})}{h} =\lim_{h \to 0}\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cos (x+\frac{h}{2})=\cos x$

$(5) (a^x)'=a^x\ln a,举例\lim_{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} =a^x\lim_{h \to 0}\frac{a^h-1}{h} =a^x\ln a$
$特殊情况: (e^x)'=e^x,举例\lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h} =e^x\lim_{h \to 0}\frac{e^h-1}{h} =e^x$
$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a},举例\lim_{h \to 0}\frac{\log_a (x+h)-\log_a x}{h} =\lim_{h \to 0}\frac{\log_a (1+\frac{h}{x})}{h} =\lim_{h \to 0}\frac{\log_a (1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln a}$
$(\ln x)'=\frac{1}{x},举例\lim_{h \to 0}\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h} =\lim_{h \to 0}\frac{\ln (1+\frac{h}{x})}{h} =\lim_{h \to 0}\frac{\ln (1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x}$

$(6) y=|x|,x=0导数不存在,举例\lim_{h \to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h} =\lim_{h \to 0}\frac{|h|}{h} 不存在$

高阶导数

n阶导数,例如位移s(t),它的一阶导可以推出瞬时速度s'(t)=v(t),二阶导可以推出瞬时加速度s''(t)=a(t),形如这样的导数就是高阶导数.

具体来说,(y')'可以记作y''或\frac{d^2y}{dx^2},(y'')'可以记作y'''或\frac{d^3y}{dx^3},以此类推

4阶及以上的导数记作y^{(n)}或\frac{d^ny}{dx^n},例如y^{(4)}=\frac{d^4y}{dx^4}

$若f^{(n)}(x)在区间I上连续,则称f(x)在I上n阶连续可导$

定理

$设定u,v都是n阶可导的函数,则 (u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
$Leibniz公式,设u,v都是n阶可导的函数,则 (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}$ $例如(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}$

高级导数的求法

利用归纳法
利用公式
1. $(\sin x)^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi}{2})$
2. $(\cos x)^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi}{2})$
3. $(u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
4. $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}$

隐函数及由参数方程确定的函数的导数

隐函数的导数

隐函数的定义

什么是显函数
自变量和因变量之间关系明确,可以直接表达。例如y=x^2
什么是隐函数
自变量和因变量之间关系不明确,不能直接表达。例如x^2+y^2=1.
一般的由一个二元方程F(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数,其中F(x,y)是定义在某区域上的连续函数,且F(x_0,y_0)=0,则称点(x_0,y_0)为隐函数的一个解.F(x,f(x))=0称为隐函数的隐式方程.

由参数方程确定的函数的导数

定理

$设x=\varphi (t),y=\psi在(\alpha ,\beta )上具有连续导数,且\varphi '(t)\ne 0,则y'=\frac{\psi '(t)}{\varphi '(t)}.若\varphi(t),\psi(t)二阶可导,则y''=\frac{\varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t)}{(\varphi '(t))^3}$

函数的微分

微分的定义

微分从字面上解释就是”微小的差分”,它指在微积分中研究函数的一个微小变化量.微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的.
具体来说查看宋浩老师讲解

$注意视频中的线性主部指的就是A\Delta x,非线性主部指的就是o(\Delta x)$

可微的条件

可微\Leftrightarrow 可导

符号和名词备注

ε

发音通常为 “epsilon”，发音为 /ˈɛpsɪlɒn/（EP-si-lon）,谐音为伊普瑟龙,在数学中，经常用作表示极小量、误差、无穷小量或可忽略的量的符号。它在微积分、极限理论和实分析中经常出现。例如，当讨论极限时，常使用 “ε” 表示一个趋近于零但不等于零的数，用于描述一个函数在某一点的邻域内的性质。

∀

英标为/fɔːrˈɔːl/ .在日常生活中并不会纠结它的读音,而是直接读它代表的意思任意和对于所有或者对于每一个.

∃

在发音上，”∃” 没有一个固定的英文读音，因为它通常在书面文本中使用。但人们通常会称它为 “there exists” 或 “there is”，以表示 “存在“ 的含义。

δ(大写Δ)

英标为delta读作:德尔塔（Dé’ěrtǎ）,通常用于表示自变量（通常是x）的一个微小增量或变化量。

φ

φ是第二十一个希腊字母,读音，fài（大写Φ，小写φ）.它在不同领域拥有不同含义,在高等数学中有以下含义.

一个通用的实值函数,用于描述某一类函数的性质。
φ有时也会表示空间中的一个角度或角坐标。
有时也会直接表示一个具体给定的函数,这时会给出φ的明确表达式。
在统计学中还会表示总体的一个参数。
ψ
ψ是指希腊字母第二十三个。大写是Ψ，小写是ψ，中文名是普西。同样,他在不同领域拥有不同含义.在高等数学中通常用作数学中的一个变量、函数、或者表达式的名称，类似于使用其他字母如x、y、f等。它没有特定的数学含义或作用，而是根据上下文来确定其具体用途。ψ通常用于表示未知函数、方程、或者其他数学对象，而其具体含义和作用则取决于在具体问题或公式中的用法。

去心邻域

去心邻域是指的某一点的开集,但是该点不在该集合中.
在图一中,集合(a, $δ$ )包含a- $δ$ 和a以及a+ $δ$ 就称这个为邻域.
在图二中,集合去掉了中心点a,只包含a- $δ$ 和a+ $δ$ ,就称其为去心邻域.

渐近线

水平渐近线

若\lim_{x \to +\infty} f(x)=b或\lim_{x \to -\infty} f(x)=b则y=b是曲线y=f(x)的一条水平渐近线

b不一样

b一样,水平渐近线只有一条的示例

垂直(铅直)渐近线

垂直渐近线不用管左右两边极限是否相等,只需要管需要的渐近线那一边.
$若\lim_{x \to a^+}f(x)=\infty 或\lim_{x \to a^-}f(x)=\infty 则， x=a为曲线y=f(x)的一条垂直渐近线$

斜渐近线

实值函数

如果一个函数，它的值域(范围)是在实数范围内的,那么就称它为实函数，也可以叫实值函数。

定义区间

定义区间是定义域内的一部分.例如 $函数y=\frac{1}{x}它的定义域为(-\infty ,0)\cup (0,+\infty ) .在它们的定义域内(0,1)，(1,2)等等都可以说是它的定义区间,凡是在定义域内的区间都叫定义区间$

尖点

左右导数存在,但是不相等

高等数学

前言